Geometría Diferencial

La geometría diferencial estudia las propiedades 'locales' de las curvas y superficies, esto es, estudia las propiedades de las curvas y superficies en un punto.
Los fundadores de la geometría diferencial son Monge, Euler y Gauss. La geometría diferencial se basa en los conceptos de longitud, tangente y curvatura (y plano osculador y torsión si es una curva en el espacio). Longitud.
Si nos pidiesen que midamos la longitud de una curva, seguramente lo haríamos utilizando segmentos de recta. Esta es la forma que utiliza la geometría diferencial: Sustituye la curva por una linea poligonal, en la que los vértices se aproximan infinitamente a la curva tangente.Supongamos que unimos con una recta dos puntos A y B situados sobre la curva y que hacemos que el punto B se aproxime al A. La recta que une A y B cuando B está infinitamente próximo a A, es la tangente. Curvatura. La curvatura mide la rapidez con la que la curva abandona la tangente. Plano osculador. Este concepto sólo se utiliza con curvas no contenidas en un plano. Dado un punto en una curva, el plano osculador es el plano mas próximo a la curva que pasa por ese punto. Por lo tanto una curva tiene infinitos planos osculadores. Torsión Este concepto sólo se utiliza con curvas no contenidas en un plano. La torsión mide la variación de la dirección del plano osculador. El plano osculador es el plano que contiene en cada punto de la curva a su vector tangente y a su vector normal. Para una partícula desplazándose en el espacio el plano osculador coincide con el plano que en cada instante contiene a la aceleración y la velocidad.